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Capitolo 1 Principi di calcolo letterale In questo capitolo presenteremo l’utilità del calcolo letterale, i suoi principali impieghi dal punto di vista matematico e i vari metodi di risoluzione.

Indice del capitolo 1.1 Cos’è il calcolo letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1.2 Insiemi numerici, un breve richiamo . . . . . . . . . . . .

2 1.3 Cos’è un monomio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 1.4 Operazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 1.4.1 Somma e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 1.4.2 Prodotto, divisione ed elevamento a potenza . . .

5 1.5 Prodotto tra polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 1.6 Prodotti Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 1.6.1 Il quadrato di un binomio . . . . . . . . . . . . . . .

6 1.6.2 Il quadrato di un trinomio . . . . . . . . . . . . . . .

7 1.6.3 Differenza di quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 1.6.4 Cubo di un Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 1.6.5 Somma e differenza di cubi . . . . . . . . . . . . . .

8 1.7 Raccoglimento parziale e totale . . . . . . . . . . . . . .

8 1.1 Cos’è il calcolo letterale

I L CALCOLO LETTERALE è la principale forma di comunicazione utilizzata nella matematica. Supponiamo di avere l’esigenza di risolvere alcuni problemi di tipo pratico, come per esempio il calcolo 1 2 Principi di calcolo letterale di perimetri, aree e volumi etc., e vogliamo allo stesso tempo, che al variare delle dimensioni del nostro oggetto, ciò che abbiamo imparato, rimanga sempre valido, ovvero che la sequenza di operazioni eseguite sia sempre la stessa anche per altri casi analoghi senza dover quindi ripetere il ragionamento ulteriormente e velocizzando i conti.

Utilizziamo un esempio per chiarire il tutto. Consideriamo un rettangolo di base 2 e altezza 3. Poichè il perimetro è dato dalla somma delle lunghezze dei lati di una figura (e in un rettangolo sono quattro, cioè due basi e due altezze) possiamo concludere banalmente che il perimetro sia 2 + 2 + 3 + 3 = 10.

Se adesso dovessimo fare lo stesso per un altro rettangolo dovremmo rifare lo stesso ragionamento da capo, mentre passando al calcolo letterale possiamo generalizzare il conto per tutti i rettangoli di tutte le dimensioni. Indichiamo ora la base con la lettera b e l’altezza con la lettera h. Riscriviamo il perimetro come somma dei lati ottenendo b + b + h + h = 2b + 2h (1.1) Adesso per ogni valore di b o h che ci venie fornito noi possiamo calcolare immediatamente il perimetro di un rettangolo semplicemente sostituendo i numeri al posto delle lettere e svolgendo i calcoli.

In questo semplicissimo esempio forse non si nota moltissimo la potenza del calcolo letterale ma vedremo in seguito come riusciremo a giungere a espressioni notevolmente semplificate, di un problema all’apparenza complicatissimo. Per imparare i vari metodi dobbiamo però partire dal principio e quindi dalle varie classificazioni di numeri esistenti, ovvero gli insiemi numerici. 1.2 Insiemi numerici, un breve richiamo Incominciamo quindi col definire i vari insiemi numerici da noi conosciuti.

Fin dall’antichità deriva la nostra necessità di contare, tant’è che il primo insieme di numeri è formato dai numeri interi (senza la virgola) e positivi, denominato insieme dei numeri naturali. Questo insieme viene indicato con il simbolo N. Alcuni elementi di N saranno quindi 0,1,2,3... Nascendo anche la necessità di sottrarre, viene allargato l’insieme N introducendo un suo soprainsieme indicato con la lettera Z e denominato insieme dei numeri relativi. Gli elementi di Z saranno quindi numeri interi positivi e negativi (per esempio ...-2,-1,0,1,2...). A questo punto abbiamo definito tre operazioni elementari (somma, sottrazione e prodotto) su quattro. Per definire l’ultima operazione dobbiamo considerare un’ulteriore soprainsieme che indicheremo

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